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大白话解析模拟退火算法

优化算法入门系列文章目录(更新中):

1. 模拟退火算法

2. 遗传算法

一. 爬山算法 ( Hill Climbing )

介绍模拟退火前,先介绍爬山算法。爬山算法是一种简单的贪心搜索算法,该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解,直到达到一个局部最优解。

爬山算法实现很简单,其主要缺点是会陷入局部最优解,而不一定能搜索到全局最优解。如图 1 所示:假设 C 点为当前解,爬山算法搜索到 A 点这个局部最优解就会停止搜索,因为在 A 点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。

图 1

二. 模拟退火 (SA,Simulated Annealing) 思想

爬山法是完完全全的贪心法,每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解,因此只能搜索到局部的最优值。模拟退火其实也是一种贪心算法,但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法 以一定的概率 来接受一个比当前解要差的解,因此 有可能 会跳出这个局部的最优解,达到全局的最优解。以图 1 为例,模拟退火算法在搜索到局部最优解 A 后,会 以一定的概率 接受到 E 的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达 D 点,于是就跳出了局部最大值 A。

模拟退火算法描述:

若 J( Y(i+1) )>= J( Y(i) )  (即移动后得到更优解),则总是接受该移动

若 J( Y(i+1) )< J( Y(i) )  (即移动后的解比当前解要差),则 以一定的概率接受移动,而且这个概率随着时间推移逐渐降低(逐渐降低才能趋向稳定)

这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程,这也是模拟退火算法名称的由来。

根据热力学的原理,在温度为 T 时,出现能量差为 dE 的降温的概率为 P(dE),表示为:

    P(dE) = exp( dE/(kT) )

其中 k 是一个常数,exp 表示自然指数,且 dE<0。这条公式说白了就是:温度越高,出现一次能量差为 dE 的降温的概率就越大;温度越低,则出现降温的概率就越小。又由于 dE 总是小于 0(否则就不叫退火了),因此 dE/kT < 0 ,所以 P(dE) 的函数取值范围是 (0,1) 。

随着温度 T 的降低,P(dE) 会逐渐降低。

我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程,我们以概率 P(dE) 来接受这样的移动。

关于爬山算法与模拟退火,有一个有趣的比喻:

爬山算法:兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法,它不能保证局部最优值就是全局最优值。

模拟退火:兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间,它可能走向高处,也可能踏入平地。但是,它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。

下面给出模拟退火的伪代码表示。

 

三. 模拟退火算法伪代码

四. 使用模拟退火算法解决旅行商问题

旅行商问题 ( TSP , Traveling Salesman Problem ) :有 N 个城市,要求从其中某个问题出发,唯一遍历所有城市,再回到出发的城市,求最短的路线。

旅行商问题属于所谓的 NP 完全问题,精确的解决 TSP 只能通过穷举所有的路径组合,其时间复杂度是 O(N!) 。

使用模拟退火算法可以比较快的求出 TSP 的一条近似最优路径。(使用遗传算法也是可以的,我将在下一篇文章中介绍)模拟退火解决 TSP 的思路:

1. 产生一条新的遍历路径 P(i+1),计算路径 P(i+1) 的长度 L( P(i+1) )

2. 若 L(P(i+1)) < L(P(i)),则接受 P(i+1) 为新的路径,否则以模拟退火的那个概率接受 P(i+1) ,然后降温

3. 重复步骤 1,2 直到满足退出条件

产生新的遍历路径的方法有很多,下面列举其中 3 种:

1. 随机选择 2 个节点,交换路径中的这 2 个节点的顺序。

2. 随机选择 2 个节点,将路径中这 2 个节点间的节点顺序逆转。

3. 随机选择 3 个节点 m,n,k,然后将节点 m 与 n 间的节点移位到节点 k 后面。

五. 算法评价

模拟退火算法是一种随机算法,并不一定能找到全局的最优解,可以比较快的找到问题的近似最优解。 如果参数设置得当,模拟退火算法搜索效率比穷举法要高。

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