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如何在 16 位系统上进行 64 位数学运算

只要对汇编有一点基本的了解,这些函数就能扩展到任意位长的整型数学运算。

几年前,我为 FreeDOS 写了一个叫做 VMATH 的命令行数学程序。它只能在很小的无符号整型上执行十分简单的数学运算。随着近来 FreeDOS 社区里对基础数学的兴趣,我改进了 VMATH 使其可以为有符号 64 位整型提供基本的数学支持。

仅使用 16 位 8086 兼容的汇编指令来操控大型数字的过程并不简单。我希望能够分享一些在 VMATH 中用到的技术例子。其中一些方法掌握起来相当容易。而另外一些方法则看起来有点奇怪。你甚至可能学到一种进行基本数学运算的全新方式。

接下来要讲的加、减、乘、除会用到的技术将不局限于并不局限于 64 位整型。只要对汇编有一点基本的了解,这些函数就能扩展到任意位长的整型数学运算。

在深入研究这些数学函数前,我想先从计算机的角度介绍一下数字的一些基本知识。

计算机是如何读取数字的

一个英特尔兼容的 CPU 以字节Byte的形式贮存数字,储存顺序为从最低有效字节到最高有效字节。每个字节由 8 个二进Bit组成,两个字节组成一个Word

一个储存在内存里的 64 位整型占用了 8 个字节(即 4 个字)。例如,数字 74565(十六进制表示为 0x12345)的值长得是这个样子的:

  1. 用字节表示:db 0x45, 0x23, 0x01, 0x00, 0x00, 0x00, 0x00, 0x00
  2. 用字表示:dw 0x2345, 0x0001, 0x0000, 0x0000

当读取或写入数据到内存时,CPU 会以正确的顺序处理这些字节。对于比 8086 更现代的处理器而言,数据分组可以再大些,比如一个四字组Quadword就可以表达整个 64 位整型 0x0000000000012345

8086 CPU 不能理解这么大的数字。当为 FreeDOS 编程时,你想要写的是一个能在任意电脑上跑的程序,甚至是原始的 IBM PC 5150。你想要使用能够扩展到任意大小整型的技术。我们其实并不关心更现代 CPU 的能力。

为了能做整型运算,我们的数据需要表达两种不同类型的数字。

第一种是无符号unsigned整型,其使用了所有的位来表达一个正数。无符号整型的值域为从 0 到  2位长 - 1。例如,8 位数可以是 0 到 255 之间的任意值,而 16 位数则在 0 到 65535 之间,以此类推。

有符号整型也很类似。不同之处在于数字的最高位代表了这个数是一个正数(0)还是一个负数 (1)。有符号整型的值域前半部分为正数,正数值域是从 0 到 2位长 - 1 - 1。整型值域的后半部分为负数,负数值域则从 0 - 2位长 - 1 到 -1

比如说,一个 8 位数代表着 0 到 127 之间的任意正数,以及 -128 到 -1 之间的任意负数。为了能更好的理解这一点,想象 字节 为一列数组 [0...127,-128...-1]。因为 -128 在数组内紧跟着 127127 加 1 等于 -128。当然这可能看起来有点奇怪甚至反常,但这其实让这个层级的基本数学运算变简单了。

为了能够对大型整型进行简单的加、减、乘、除,你应该摸索一些简单的公式来计算一个数的绝对值或负值。你在做有符号整型运算的时候会用上它们的。

绝对值与负值

计算一个有符号整型的绝对值并没有它看起来的那么糟糕。由于无符号和有符号数字在内存里的储存形式,我们其实有一个简单的方案。你只需要翻转一个负数的所有字位,得出的结果再加 1

如果你从没接触过二进制的话,这可能听上去有点奇怪,但这就是这么工作的。让我们来举一个例子,取一个负数的 8 位表达,比如说 -5。因为 -5 靠近 [0...127,-128...-1] 字节组末端,它的十六进制值为 0xfb,二进制值为 11111011。如果你翻转了所有字位,你会得到 0x04 或二进制值 00000100。结果加 1 你就得到了你的答案:你刚刚把 -5 的值变成了 +5

你可以用汇编写下这个程序用以返回任意 64 位数字的绝对值:

  1. ; 语法,NASM for DOS
  2. proc_ABS:
  3.   ; 启动时,SI 寄存器会指向数据段(DS)内的内存位置,那里存放着程序内包含着
  4.   ; 会被转为正数的 64 位数。
  5.   ; 结束时,如果结果数字不能被转正,CF 寄存器会被设置。这种情况只
  6.   ; 有在遇到最大负值时会发生。其余情况,CF 不会被设置。
  7.  
  8.   ; 检查最高字节的最高位
  9.   test [si+7], byte 0x80
  10.   ; 如不为 1,值为正值
  11.   jz .done_ABS
  12.   ; 翻转所有位
  13.   not word [si+6] ; #4
  14.   not word [si+4]       ; #3
  15.   not word [si+2]       ; #2
  16.   not word [si]         ; #1
  17.   ; #1 1
  18.   inc word [si]
  19.   ; 如结果不为 0,结束
  20.   jnz .done_ABS
  21.   ; #2 1
  22.   inc word [si+2]
  23.   ; 如结果为 0,进位下一个字
  24.   jnz .done_ABS
  25.   inc word [si+4]
  26.   jnz .done_ABS
  27.   ; 此处无法进位
  28.   inc word [si+6]
  29.   ; 再一次检查最高位
  30.   test [si+7], byte 0x80
  31.   ; 如不为 1,我们成功了,结束
  32.   jz .done_ABS
  33.   ; 溢出错误,它被转成了负数
  34.   stc
  35.   ; 设置 CF 并返回
  36.   ret
  37. .done_ABS:
  38.   ; 成功,清理 CF 并返回
  39.   clc
  40.   ret

你可能已经注意到了,这个函数有一个潜在问题。由于正数和负数的二进制值表达方式,最大负数无法被转成正数。以 8 位数为例,最大负数是 -128。如果你翻转了 -128 的所有位数(二进制 1__0000000),你会得到 127(二进制 0__1111111)这个最大正值。如果你对结果加 1,它会因溢出回到同样的负数(-128)。

要将正数转成负数,你只需要重复计算绝对值的步骤就行。以下的程序十分相似,你唯一需要确认的就是一开始的数字不是已经负了。

  1. ; 语法, NASM for DOS
  2. proc_NEG:
  3.   ; 开始时,SI 会指向需要转负的数字在内存里的位置。
  4.   ; 结束时,CF 永远不会被设置。
  5.  
  6.   ; 检查最高字节的最高位
  7.   test [si+7], byte 0x80
  8.   ; 如为 1,数已经是负数
  9.   jnz .done_NEG
  10.   not word [si+6]       ; 翻转字的所有位,字 #4
  11.   not word [si+4]       ; #3
  12.   not word [si+2]       ; #2
  13.   not word [si]         ; #1
  14.   inc word [si]         ; #1 1
  15.   ; 如结果不为 0,结束
  16.   jnz .done_NEG
  17.   ; #2 1
  18.   inc word [si+2]
  19.   ; 如结果为 0,进位下一个字
  20.   jnz .done_NEG
  21.   inc word [si+4]
  22.   jnz .done_NEG
  23.   ; 此处无法进位或转化
  24.   inc word [si+6]
  25.   ; 正。
  26. .done_NEG:
  27.   clc                   ; 成功,清理 CF 并返回
  28.   ret

看着这些绝对值函数与负值函数间的通用代码,它们应该被合并起来节约一些字节。合并代码也会带来额外的好处。首先,合并代码能帮助防止简单的笔误。这样也可以减少测试的要求。进一步来讲,这样通常会让代码变得简单易懂。在阅读一长串的汇编指令时,忘记读到哪里是常有的事。现在,我们可以不管这些。

计算一个数的绝对值或负值并不难。但是,这些函数对于我们即将开始的有符号整型数学运算至关重要。

我已经介绍了整型数字在位这一层面的基本表示方法,也创造了可以改变这些数字的基本程序,现在我们可以做点有趣的了。

让我们来做些数学运算吧!


via: https://opensource.com/article/22/10/64-bit-math

作者:Jerome Shidel 选题:lkxed 译者:yzuowei 校对:wxy

本文由 LCTT 原创编译,Linux中国 荣誉推出

转自 软件开发|如何在 16 位系统上进行 64 位数学运算 (linux.cn)